On the generalization of quaternions
Introduction
i²=j²=k²=ijk=ー1
I tried to see if I could extend the quaternions defined by
Bn²＝Cn²＝An・Bn・Cn＝－１
Cn・Bn・An＝ｎ
is assumed to be true.
In conclusion, the quaternions are equivalent to the case n = 1 under this extended system. In that case, A1 = i, B1 = j, and C1 = k are equivalent.
The associative law seems to hold, but I have not been able to prove it.
The table of operations is as follows.
× An Bn Cn
An ーｎ Cn ーｎ・Ｂn
Bn ｎ/(Cn) －１ ー１/(Ａn)
Cn Bn ーAn －１
コメント非表示にしたことについて
訳ありで、これまでのコメントを非表示にしました。
参考になるコメントをくださった方ありがとうございます。
Part proof of Goldbach Conjecture
This post is a trannslate of my old post.
Part proof.
Let we take a prime p towards a primorial mPn♯.
（ｐ、ｍPｎ♯）＝１
ｐ－ｍPｎ♯＜０
ｍ is not multiple of a P（ｎ＋１）
Here,
pーmPn♯＝－A is inside of the abolute value of (P（ｎ＋１）)^2,
Then ーA is prime.
Proof
If this is not prime,then a composite.
Because,ーA inside of (P（ｎ＋１)）＾２
ーA has a prime factor ,which 2,3,5,7,・・・Pn.
We transpose mPn♯,p became composite,
This is a contradiction
So p is prime.
Then,
p＋A＝mPn♯.
ルジャンドルの記号から得られる系について
初等整数論で著名な定理のひとつにルジャンドルの記号があります。
ここでは平方剰余の第１補充法則と第２補充法則から得られる系を見てみましょう。
ルジャンドルの記号（/）について、
（ー１/ｐ）＝（ー１）＾（（ｐ－１）/２） 第１補充法則
（２/ｐ）＝（ー１）＾（（ｐ＾２－１）/８） 第２補充法則
証明は良く知られているのでここでは繰り返しません。
ここでは僕が見つけた補充法則の系について見てみましょう。
きっかけとなったのは、
ルジャンドルの記号は自然数にしか適用できず、（√２/３）は定義されないのだろうか？ という問いです。
ここでは系を導入することでその値（√２/３）の値を見ましょう。
拡張体系、
（√ー１/ｐ）＝i＾（（ｐ－１）/２）
（√２/ｐ）＝i^（（ｐ＾２－１）/８）
ここでiは虚数単位。ここで両方の２個の式とも２乗すると第１補充法則と第２補充法則と同値になります。
では、（√２/３）の値を見てみましょう。
上記の下の式より、
（√２/３）＝i
となります。実際両辺を2乗すると、
（２/３）＝－１
となり、これは平方剰余の第２補充法則からすぐに正しいとわかります。
より、
（√２/３）＝i
が求めるべき答えでした。
１＋２＋３＋・・・＋ｎ＋・・・＝－∞？
証明
A＝１＋２＋３＋４＋５＋・・・＋ｎ・・・
両辺から右辺の奇数を引くと、
A－１－３－５－７・・・＝２＋４＋６＋８＋
両辺を２で割り
（A－１－３－５－７・・・）/２＝１＋２＋３＋４＋・・・
ここでこの式が成り立つには、
－１－３－５－７・・・＝A
にならないといけない。
より、
１＋２＋３＋・・・＋ｎ＋・・・＝－∞
が成り立つ、と考える。
平方剰余の相互法則の一般化らしき式
初等整数論で有名な定理に平方剰余の相互法則があります。
その主張自体はすでによく知られていてネット上でも多数の解説や説明があるのでそれはいちいち繰り返しません。ただし、僕が見つけた式との比較考察上ここにも書きます。
相異なる奇素数ｐとｑに対して、
(q/p)(p/q)＝(ー１)＾（ｐ´ｑ´）
（/）はルジャンドルの記号
ここでｐ´＝（ｐ－１）/2でq´＝(qー１)/２となる。
僕が発見したのはさらに１つ素数rを増やします。
それぞれが相異なる奇素数p、q、rに対して、
(qr/p)(rp/q)(pq/r)＝（ー１）^（ｐ´ｑ´）×（－１）^（ｑ´ｒ´）×（－１）^（r´ｐ´）
ここでｒ´＝（ｒ－１）/2を増やす。
が成り立ちそうだけれどなあ。
この法則が意味するもの。
左辺の３個の素数のうち２個か３個の素数が４ｎ+１だと右辺は＋１となり2個か３個の素数の４ｎ－１の形だと右辺はー１となる。
実例、ｐ＝３、ｑ＝７、ｒ＝１１とする。
（21/11）（33/7）（77/3）＝－１×ー１×ー１＝－１
ｐ＝５、ｑ＝１３、ｒ＝１１でする。
（143/5）（55/13）（65/11）＝－１×＋１×－１＝＋１
となる。
という感じに。
ただし証明ができていない。１００個くらいやって反例はなかったけれど。
