四元数のある種の構造拡張について

はじめに

i²=j²=k²=ijk=-1

で定義される四元数を別の方面から拡張できないかと試みました。

 

Bn²=Cn²=An・Bn・Cn=-1

Cn・Bn・An=n

 

が成り立っているものとする。

 

結論から先に言うと、この拡張体系の下で四元数はn=1の場合と同値。その場合A1=i、B1=j、C1=kと同値になる。

結合法則は成り立ちそうだけれど、証明できていない。

演算表は以下の通り。

 

 ×      An        Bn       Cn

An    ーn        Cn      ーn・Bn

Bn    n/(Cn)   -1  ー1/(An)

Cn      Bn             ーAn       -1

 

これで間違いはないだろうか?

自信はイマイチ持てない。

4n-1の形の素数が無限に存在することの新しい証明 その12

証明の方針

直接法で示す。

 

証明

 

aを奇素数として、

a≡ー1 mod 4

 

が成り立っているとすると、

 

2a+a^3≡1 mod 4

となる。ここで左辺は4n+1の形であるから、また4n-1の形の素因数を含むので、aではない別の4n-1の素因数を含む。それをbとして、

 

2ab^2+a^3≡1 mod 4

 

とすると、同様に左辺は4n+1の形でaでもbでも割り切れない4n-1の素因数cを含む。これを同様に、

 

2ab^2c^2+a^3≡1 mod 4

 

となり、同様に4n-1の形の素因数dが存在することがわかる。これは無限にできる。よって4n-1の形の素数は無限に存在する。

4n-1の形の素数が無限に存在することの新しい証明 その11

証明の方針

背理法で示す。

 

証明

 

4n-1の形の素数が有限個だと仮定する。そして4n-1の値の素数をすべてかけた値をaとすると、

 

a≡1 mod 4

a≡ー1 mod 4

 

のどちらかとなる。

 

ここで、

 

a^2+2aー4≡ー1 mod 4

 

より、左辺は4m-1の形をしているが左辺は仮定した4n-1の形のどの素数でも割り切ることができない。これは矛盾である。これは最初に4n-1の形の素数が有限個とした仮定に誤りがある。

 

よって、4n-1の形の素数は無限に存在する。

4n-1の形の素数が無限に存在することの新しい証明 その10

証明の方針

直接法を使って示す。

 

証明

 

aとbを素数として、

 

a≡ー1 mod 4

b≡ー1 mod 4

 

が成り立っているとする。

ここで、

 

ab+2≡ー1 mod 4

だから、左辺は4n-1の形でaでもbでも割り切れない4n-1の形の素数cがある。

ここで、

ab+2c≡ー1 mod 4

となり、左辺はa、b、cのどれでも割り切れないので別の4n-1の形の素数dがある。同様に、

ab+2cd≡ー1 mod 4

となるので左辺はa、b、c、dのどれでも割り切れない4n-1の形の素数eが存在する。

 

この操作は無限にできるので4n-1の形の素数は無限に存在する。

4n-1の形の素数が無限に存在することの新しい証明 その9

証明の方針

直接法を使って示す。

 

証明

 

a≡0 mod 4

とすると、

aー1≡ー1 mod 4

より、aー1は4n-1の形の素因数を含む。それをひとつとりあげbとして以下の式を考える。

b^2(aー1)ーa≡ー1 mod 4

となり、ここで左辺はbで割り切れないので別の4n-1の形の素因数cが存在する。

同様に、

(cb)^2(aー1)ーa≡ー1 mod 4

より、左辺は4n-1の形でbでもcでも割り切れないので別の素因数dが存在する。

この操作は無限に可能なので4n-1の形の素数は無限に存在する。

4n-1の形の素数が無限に存在することの新しい証明 その8

証明の方針

直接法を使う。

 

証明

aとbを4で割って1あまる素数だとする。

a≡1 mod 4

b≡1 mod 4

とすると、

a+2b≡ー1 mod 4

より、左辺は4n-1の形なので4n-1の素因数を含んでる。それをひとつ取り上げてcとするとcの2乗は4を法として1なので、

ac^2+2b≡ー1 mod 4

なので、左辺はcで割り切れないので左辺は別の4n-1の素因数dを含んでる。これを同様に、

ac^2d^2+2b≡ー1 mod 4

となるのでこれは無限に操作可能。

よって、4n-1の形の素数は無限に存在する。

4n-1の形の素数が無限に存在することの新しい証明 その7

証明の方針

直接法を使う。

 

証明

 

aとbを素数として以下が成り立つとする。

 

a≡1 mod 4

b≡ー1 mod 4

 

とすると、

 

ab+a+b≡ー1 mod 4

 

ここで、左辺は4n-1の形であり、aでもbでも割り切れないので4n-1の形の別の素因数cが存在する。

ここで、

 

ab+ac+bc≡ー1 mod 4

より、左辺は4n-1の形で、a、b、cのどれも割り切れないので4n-1の形の別の素因数dが存在する。

 

ここで、

 

ab+acd+bcd≡ー1 mod 4

 

より、左辺は4n-1の形でa、b、c、dのどれでも割り切れないので4n-1の形の別の素因数eが存在する。

 

これは無限に可能。

 

よって、4n-1の形の素数は無限に存在する。