4n-1の形の素数が無限に存在することの新しい証明 その12

証明の方針

直接法で示す。

 

証明

 

aを奇素数として、

a≡ー1 mod 4

 

が成り立っているとすると、

 

2a+a^3≡1 mod 4

となる。ここで左辺は4n+1の形であるから、また4n-1の形の素因数を含むので、aではない別の4n-1の素因数を含む。それをbとして、

 

2ab^2+a^3≡1 mod 4

 

とすると、同様に左辺は4n+1の形でaでもbでも割り切れない4n-1の素因数cを含む。これを同様に、

 

2ab^2c^2+a^3≡1 mod 4

 

となり、同様に4n-1の形の素因数dが存在することがわかる。これは無限にできる。よって4n-1の形の素数は無限に存在する。

4n-1の形の素数が無限に存在することの新しい証明 その11

証明の方針

背理法で示す。

 

証明

 

4n-1の形の素数が有限個だと仮定する。そして4n-1の値の素数をすべてかけた値をaとすると、

 

a≡1 mod 4

a≡ー1 mod 4

 

のどちらかとなる。

 

ここで、

 

a^2+2aー4≡ー1 mod 4

 

より、左辺は4m-1の形をしているが左辺は仮定した4n-1の形のどの素数でも割り切ることができない。これは矛盾である。これは最初に4n-1の形の素数が有限個とした仮定に誤りがある。

 

よって、4n-1の形の素数は無限に存在する。

4n-1の形の素数が無限に存在することの新しい証明 その10

証明の方針

直接法を使って示す。

 

証明

 

aとbを素数として、

 

a≡ー1 mod 4

b≡ー1 mod 4

 

が成り立っているとする。

ここで、

 

ab+2≡ー1 mod 4

だから、左辺は4n-1の形でaでもbでも割り切れない4n-1の形の素数cがある。

ここで、

ab+2c≡ー1 mod 4

となり、左辺はa、b、cのどれでも割り切れないので別の4n-1の形の素数dがある。同様に、

ab+2cd≡ー1 mod 4

となるので左辺はa、b、c、dのどれでも割り切れない4n-1の形の素数eが存在する。

 

この操作は無限にできるので4n-1の形の素数は無限に存在する。

4n-1の形の素数が無限に存在することの新しい証明 その9

証明の方針

直接法を使って示す。

 

証明

 

a≡0 mod 4

とすると、

aー1≡ー1 mod 4

より、aー1は4n-1の形の素因数を含む。それをひとつとりあげbとして以下の式を考える。

b^2(aー1)ーa≡ー1 mod 4

となり、ここで左辺はbで割り切れないので別の4n-1の形の素因数cが存在する。

同様に、

(cb)^2(aー1)ーa≡ー1 mod 4

より、左辺は4n-1の形でbでもcでも割り切れないので別の素因数dが存在する。

この操作は無限に可能なので4n-1の形の素数は無限に存在する。

4n-1の形の素数が無限に存在することの新しい証明 その8

証明の方針

直接法を使う。

 

証明

aとbを4で割って1あまる素数だとする。

a≡1 mod 4

b≡1 mod 4

とすると、

a+2b≡ー1 mod 4

より、左辺は4n-1の形なので4n-1の素因数を含んでる。それをひとつ取り上げてcとするとcの2乗は4を法として1なので、

ac^2+2b≡ー1 mod 4

なので、左辺はcで割り切れないので左辺は別の4n-1の素因数dを含んでる。これを同様に、

ac^2d^2+2b≡ー1 mod 4

となるのでこれは無限に操作可能。

よって、4n-1の形の素数は無限に存在する。

4n-1の形の素数が無限に存在することの新しい証明 その7

証明の方針

直接法を使う。

 

証明

 

aとbを素数として以下が成り立つとする。

 

a≡1 mod 4

b≡ー1 mod 4

 

とすると、

 

ab+a+b≡ー1 mod 4

 

ここで、左辺は4n-1の形であり、aでもbでも割り切れないので4n-1の形の別の素因数cが存在する。

ここで、

 

ab+ac+bc≡ー1 mod 4

より、左辺は4n-1の形で、a、b、cのどれも割り切れないので4n-1の形の別の素因数dが存在する。

 

ここで、

 

ab+acd+bcd≡ー1 mod 4

 

より、左辺は4n-1の形でa、b、c、dのどれでも割り切れないので4n-1の形の別の素因数eが存在する。

 

これは無限に可能。

 

よって、4n-1の形の素数は無限に存在する。

 

 

4n-1の形の素数が無限に存在することの新しい証明 その6

証明の方針

直接法で示す。

 

証明

4n-1の形の素数aが存在したとする。

 

a^2+2≡ー1 mod 4

a^2ー2≡ー1 mod 4

 

ここで上下の式は去通の素因数を持たない。

実際、共通の素因数を持ったとすると、

 

a^2+2=pa^(+2)

a^2ー2=pa^(-2)

 

上下の式を足して、

 

2a^2=p(a^(+2)+a^(ー2))

 

となり、pは奇数なのでpはaを素因数に含まないといけないが、それは式の構造上ありえない。よって共通の素因数を持たない。

 

より、

a^2+2≡ー1 mod 4

a^2ー2≡ー1 mod 4

は互いに素で4n-1の素因数を最低一つは持つ。ここで上をb、下をcとして、

 

(abc)^2+2≡ー1 mod 4

(abc)^2ー2≡ー1 mod 4

 

となり、上はa、b、c、のどれでもない4n-1の素因数dを持ち、下はa、b、cのどれでもない4n-1の素因数eを持つ。

 

これは無限にできる。よって4n-1の形の素数は無限に存在する。