Introduction i²=j²=k²=ijk=ー1 I tried to see if I could extend the quaternions defined by Bn²＝Cn²＝An・Bn・Cn＝－１ Cn・Bn・An＝ｎ is assumed to be true. In conclusion, the quaternions are equivalent to the case n = 1 under this extended …

訳ありで、これまでのコメントを非表示にしました。 参考になるコメントをくださった方ありがとうございます。

This post is a trannslate of my old post. Part proof. Let we take a prime p towards a primorial mPn♯. （ｐ、ｍPｎ♯）＝１ｐ－ｍPｎ♯＜０ｍ is not multiple of a P（ｎ＋１） Here, pーmPn♯＝－A is inside of the abolute value of (P（ｎ＋１）)^2,…

初等整数論で著名な定理のひとつにルジャンドルの記号があります。 ここでは平方剰余の第１補充法則と第２補充法則から得られる系を見てみましょう。 ルジャンドルの記号（/）について、 （ー１/ｐ）＝（ー１）＾（（ｐ－１）/２） 第１補充法則 （２/ｐ）＝…

証明 A＝１＋２＋３＋４＋５＋・・・＋ｎ・・・ 両辺から右辺の奇数を引くと、 A－１－３－５－７・・・＝２＋４＋６＋８＋ 両辺を２で割り （A－１－３－５－７・・・）/２＝１＋２＋３＋４＋・・・ ここでこの式が成り立つには、 －１－３－５－７・・・＝…

初等整数論で有名な定理に平方剰余の相互法則があります。 その主張自体はすでによく知られていてネット上でも多数の解説や説明があるのでそれはいちいち繰り返しません。ただし、僕が見つけた式との比較考察上ここにも書きます。 相異なる奇素数ｐとｑに対…

素数ｐに対して素数階乗ｍPｎ♯を以下のようにとる。 （ｐ、ｍPｎ♯）＝１ ｐ－ｍPｎ♯＜０ ｍはP（ｎ＋１）の倍数ではない。 ここで、ｐ－ｍPｎ♯＝ーAが絶対値でP（ｎ＋１）＾２未満に収まれば自動的に素数になる。 証明 もし、素数にならないなら合成数である…

この記事では１か月くらい前に発見した三位四元数という数の導入を紹介します。 研究の動機 は、簡単に言えば四元数がなんとなく好みだから拡張出来ないかなと思って研究しました。 以下に定義を述べる。 a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 ここで、 a3・b2・c1＝a…

はじめに i²＝j²＝k²＝ijk＝－１ で定義される四元数を別の方面から拡張できないかと試みました。 Bn²＝Cn²＝An・Bn・Cn＝－１ Cn・Bn・An＝ｎ が成り立っているものとする。 結論から先に言うと、この拡張体系の下で四元数はｎ＝１の場合と同値。その場合Ａ…

証明の方針 直接法で示す。 証明 aを奇素数として、 a≡ー１ mod ４ が成り立っているとすると、 2a＋a^3≡１ mod ４ となる。ここで左辺は４ｎ＋１の形であるから、また４ｎ－１の形の素因数を含むので、aではない別の４ｎ－１の素因数を含む。それをｂとして…

証明の方針 背理法で示す。 証明 ４ｎ－１の形の素数が有限個だと仮定する。そして４ｎ－１の値の素数をすべてかけた値をaとすると、 a≡１ mod ４ a≡ー１ mod ４ のどちらかとなる。 ここで、 a^2＋２aー４≡ー１ mod ４ より、左辺は４ｍ－１の形をしている…

証明の方針 直接法を使って示す。 証明 aとｂを素数として、 a≡ー１ mod ４ b≡ー１ mod ４ が成り立っているとする。 ここで、 ab＋２≡ー１ mod ４ だから、左辺は４ｎ－１の形でaでもｂでも割り切れない４ｎ－１の形の素数ｃがある。 ここで、 ab＋２ｃ≡ー…

証明の方針 直接法を使って示す。 証明 a≡０ mod ４ とすると、 aー１≡ー１ mod ４ より、aー１は４ｎ－１の形の素因数を含む。それをひとつとりあげbとして以下の式を考える。 b^2(aー１)ーa≡ー１ mod ４ となり、ここで左辺はｂで割り切れないので別の４ｎ…

証明の方針 直接法を使う。 証明 aとｂを４で割って１あまる素数だとする。 a≡１ mod ４ b≡１ mod ４ とすると、 a＋２ｂ≡ー１ mod ４ より、左辺は４ｎ－１の形なので４ｎ－１の素因数を含んでる。それをひとつ取り上げてｃとするとｃの2乗は４を法として１…

証明の方針 直接法を使う。 証明 aとｂを素数として以下が成り立つとする。 a≡１ mod ４ b≡ー１ mod ４ とすると、 ab＋a＋b≡ー１ mod ４ ここで、左辺は４ｎ－１の形であり、aでもｂでも割り切れないので４ｎ－１の形の別の素因数ｃが存在する。 ここで、 a…

証明の方針 直接法で示す。 証明 ４ｎ－１の形の素数aが存在したとする。 a^2＋２≡ー１ mod ４ a^2ー２≡ー１ mod ４ ここで上下の式は去通の素因数を持たない。 実際、共通の素因数を持ったとすると、 a^2＋２＝ｐa^（＋2） a^2ー２＝ｐa^（－２） 上下の式…

証明の方針 背理法を使い矛盾が発生することを示す。 証明 ４ｎ－１の形の素数が有限個だと仮定する。 ３×７×１１×１９×・・・＝a と置くと、aは４ｎ－１の形か４ｎ＋１の形をしているので２乗すると、 a^2＝（４ｎ－１）＾２＝１６ｎ＾２－８ｎ＋１ a^2＝（…

証明の方針 直接法で示す。 証明 ４ｎ－１の形の素数のaとｂの2個を取り上げる。 まずは1回目で奇数回。 ２（a×ｂ）＋１≡ー１ mod ４ より、左辺にはaとｂではない別の４ｎ－１の素因数ｃが存在する。 次は2回目で偶数回。 ２（a×ｂ×ｃ＾２）＋１≡ー１ mod …

証明の方針 直接法で示す。 証明 ４ｎ－１の形の素数のaとｂの２個を取り上げる。 aｂ＾２≡ー１ mod ４ ba＾２≡ー１ mod ４ より、 ab^2＋ba＾２＋１≡ー１ mod ４ 左辺は４ｎ－１の形であり、aとｂで割り切れないので別の４ｎ－１の形の素因数ｃが存在する。…

証明の方針 背理法で示す。４ｎ－１の形の素数が有限個だと仮定すると矛盾が発生することを示す。 証明 ４ｎ－１の形の素数が有限個だと仮定する。４ｎ＋１の形の素数に制約を設ける必要がないから４ｎ＋１の形の素数には個数の制約を設けない。 素数階乗を…

証明の方針 背理法に近い方法を使う。もし任意の自然数ｎが２通りに書ける場合に矛盾に近いものが発生することを示す。 証明 自然数ｎを素因数分解して、 ｎ＝a１×a２×a３×・・・×aｍ が得られたとする。ここで（a１、a２、a３、・・・、aｍ）＝１とする。な…

証明の方針 直接法で示す。４ｎ－１の素数の集合をもとにあたらしく４ｎ－１の素数が存在することを示す。 証明 ４ｎ－１の形の素数を並べる。 ３、７、１１、１９、２３、３１、４３、・・・ ここで、３から奇数個の素数を掛けて値をaとするとaは４ｎ－１の…

証明の方針 背理法を使う。 証明 ax＋ｂ＝０ より解は、 ｘ＝ーb/a ・・・１ ここで解が２個存在したとする。 ｘ＝ｃｙ ・・・２ ｘ＝ｄｙ ・・・３ の２個があり、解は違う値で、ｃ＞ｄとする。 １の数式に２を代入する。 ｃｙ＝－b/a ・・・４ ４の数式に…