四元数のある種の構造拡張について

はじめに i²=j²=k²=ijk=-1 で定義される四元数を別の方面から拡張できないかと試みました。 Bn²=Cn²=An・Bn・Cn=-1 Cn・Bn・An=n が成り立っているものとする。 結論から先に言うと、この拡張体系の下で四元数はn=1の場合と同値。その場合A…

4n-1の形の素数が無限に存在することの新しい証明 その12

証明の方針 直接法で示す。 証明 aを奇素数として、 a≡ー1 mod 4 が成り立っているとすると、 2a+a^3≡1 mod 4 となる。ここで左辺は4n+1の形であるから、また4n-1の形の素因数を含むので、aではない別の4n-1の素因数を含む。それをbとして…

4n-1の形の素数が無限に存在することの新しい証明 その11

証明の方針 背理法で示す。 証明 4n-1の形の素数が有限個だと仮定する。そして4n-1の値の素数をすべてかけた値をaとすると、 a≡1 mod 4 a≡ー1 mod 4 のどちらかとなる。 ここで、 a^2+2aー4≡ー1 mod 4 より、左辺は4m-1の形をしている…

4n-1の形の素数が無限に存在することの新しい証明 その10

証明の方針 直接法を使って示す。 証明 aとbを素数として、 a≡ー1 mod 4 b≡ー1 mod 4 が成り立っているとする。 ここで、 ab+2≡ー1 mod 4 だから、左辺は4n-1の形でaでもbでも割り切れない4n-1の形の素数cがある。 ここで、 ab+2c≡ー…

4n-1の形の素数が無限に存在することの新しい証明 その9

証明の方針 直接法を使って示す。 証明 a≡0 mod 4 とすると、 aー1≡ー1 mod 4 より、aー1は4n-1の形の素因数を含む。それをひとつとりあげbとして以下の式を考える。 b^2(aー1)ーa≡ー1 mod 4 となり、ここで左辺はbで割り切れないので別の4n…

4n-1の形の素数が無限に存在することの新しい証明 その8

証明の方針 直接法を使う。 証明 aとbを4で割って1あまる素数だとする。 a≡1 mod 4 b≡1 mod 4 とすると、 a+2b≡ー1 mod 4 より、左辺は4n-1の形なので4n-1の素因数を含んでる。それをひとつ取り上げてcとするとcの2乗は4を法として1…

4n-1の形の素数が無限に存在することの新しい証明 その7

証明の方針 直接法を使う。 証明 aとbを素数として以下が成り立つとする。 a≡1 mod 4 b≡ー1 mod 4 とすると、 ab+a+b≡ー1 mod 4 ここで、左辺は4n-1の形であり、aでもbでも割り切れないので4n-1の形の別の素因数cが存在する。 ここで、 a…

4n-1の形の素数が無限に存在することの新しい証明 その6

証明の方針 直接法で示す。 証明 4n-1の形の素数aが存在したとする。 a^2+2≡ー1 mod 4 a^2ー2≡ー1 mod 4 ここで上下の式は去通の素因数を持たない。 実際、共通の素因数を持ったとすると、 a^2+2=pa^(+2) a^2ー2=pa^(-2) 上下の式…

4n-1の形の素数が無限に存在することの新しい証明 その5

証明の方針 背理法を使い矛盾が発生することを示す。 証明 4n-1の形の素数が有限個だと仮定する。 3×7×11×19×・・・=a と置くと、aは4n-1の形か4n+1の形をしているので2乗すると、 a^2=(4n-1)^2=16n^2-8n+1 a^2=(…

4n-1の形の素数が無限に存在することの新しい証明 その4

証明の方針 直接法で示す。 証明 4n-1の形の素数のaとbの2個を取り上げる。 まずは1回目で奇数回。 2(a×b)+1≡ー1 mod 4 より、左辺にはaとbではない別の4n-1の素因数cが存在する。 次は2回目で偶数回。 2(a×b×c^2)+1≡ー1 mod …

4n-1の形の素数が無限に存在することの新しい証明 その3

証明の方針 直接法で示す。 証明 4n-1の形の素数のaとbの2個を取り上げる。 ab^2≡ー1 mod 4 ba^2≡ー1 mod 4 より、 ab^2+ba^2+1≡ー1 mod 4 左辺は4n-1の形であり、aとbで割り切れないので別の4n-1の形の素因数cが存在する。…

4n-1の形の素数が無限に存在することの新しい証明 その2

証明の方針 背理法で示す。4n-1の形の素数が有限個だと仮定すると矛盾が発生することを示す。 証明 4n-1の形の素数が有限個だと仮定する。4n+1の形の素数に制約を設ける必要がないから4n+1の形の素数には個数の制約を設けない。 素数階乗を…

(少し弱い?)素因数分解の一意性の新しい証明

証明の方針 背理法に近い方法を使う。もし任意の自然数nが2通りに書ける場合に矛盾に近いものが発生することを示す。 証明 自然数nを素因数分解して、 n=a1×a2×a3×・・・×am が得られたとする。ここで(a1、a2、a3、・・・、am)=1とする。な…

4nー1の形の素数が無限に存在することの新しい証明

証明の方針 直接法で示す。4n-1の素数の集合をもとにあたらしく4n-1の素数が存在することを示す。 証明 4n-1の形の素数を並べる。 3、7、11、19、23、31、43、・・・ ここで、3から奇数個の素数を掛けて値をaとするとaは4n-1の…

1次方程式には1個の解しかないことの新しい証明

証明の方針 背理法を使う。 証明 ax+b=0 より解は、 x=ーb/a ・・・1 ここで解が2個存在したとする。 x=cy ・・・2 x=dy ・・・3 の2個があり、解は違う値で、c>dとする。 1の数式に2を代入する。 cy=-b/a ・・・4 4の数式に…