1次方程式には1個の解しかないことの新しい証明
証明の方針
背理法を使う。
証明
ax+b=0
より解は、
x=ーb/a ・・・1
ここで解が2個存在したとする。
x=cy ・・・2
x=dy ・・・3
の2個があり、解は違う値で、c>dとする。
1の数式に2を代入する。
cy=-b/a ・・・4
4の数式に3を代入する
(cx)/d=ーb/a ・・・5
5の数式に2を代入する
(c²y)/d=-b/a ・・・6
6の数式に3を代入する。
(c²x)/d²=-b/a ・・・7
ここで、この操作は無限に繰り返すことができる。
5、7、それ以降の奇数番目の数式は、
((c/d)^n)x=-b/a
と表記可能。
ここで、c>dより、操作を繰り返しnを大きくすると無限に発散する。
つまり、上記の左辺の係数は無限に発散するが、これは最初のx=-b/aとした解と値が違い、矛盾する。これはx=-b/aとなる解が2個存在すると仮定したことに原因がある。よって1次方程式の解は1個だけである。