４ｎ－１の形の素数が無限に存在することの新しい証明 その２

証明の方針

背理法で示す。４ｎ－１の形の素数が有限個だと仮定すると矛盾が発生することを示す。

証明

４ｎ－１の形の素数が有限個だと仮定する。４ｎ＋１の形の素数に制約を設ける必要がないから４ｎ＋１の形の素数には個数の制約を設けない。

素数階乗を使う。

２×３×５×７×１１×・・・＝a

と置く。ここでaに含まれてある４ｎ－１の形の素数は有限個である。

すると、

a≡２　mod ４

となる。

aは２を素因数として含むから、４ｎ＋１と４ｎ－１の形の双方をかけても、４を法として２に合同かー２に合同なのでどのみち、４を法として２に合同になる。

ここで、

a＋１≡ー１　mod ４

となるので、a＋１は４ｎ－１の形で表されるが、4n－１の素数は有限個ですべてにaに含まれてあるという仮定より、a＋１はどの４ｎ－１の形の素数でも割り切れない。

これは矛盾である。

これは最初の４ｎ－１の形の素数が有限個とした仮定に誤りがある。

よって、４ｎ－１の形の素数は無限に存在する。