証明の方針
直接法で示す。
証明
４ｎ－１の形の素数のaとｂの２個を取り上げる。
aｂ＾２≡ー１ mod ４
ba＾２≡ー１ mod ４
より、
ab^2＋ba＾２＋１≡ー１ mod ４
左辺は４ｎ－１の形であり、aとｂで割り切れないので別の４ｎ－１の形の素因数ｃが存在する。それを取り上げ以下の式を考える。
ab^2c^2≡ー１ mod ４
ba^2c^2≡ー１ mod ４
より、
ab^2c^2＋ba^2c^2＋１≡ー１ mod ４
より、左辺は４ｎ－１の形でなおかつaでもｂでもｃでもない素因数ｄを持っている。
この操作は無限に可能。
よって、４ｎ－１の形の素数は無限に存在する。
