４ｎ－１の形の素数が無限に存在することの新しい証明 その４

証明の方針

直接法で示す。

証明

４ｎ－１の形の素数のaとｂの2個を取り上げる。

まずは1回目で奇数回。

２（a×ｂ）＋１≡ー１　mod　４

より、左辺にはaとｂではない別の４ｎ－１の素因数ｃが存在する。

次は2回目で偶数回。

２（a×ｂ×ｃ＾２）＋１≡ー１　mod　４

より、左辺はaでもbでもcない別の４ｎ－１の素因数のｄが存在する。

次は３回目で奇数回。

２（a×b×c×d）＋１≡ー１　mod　４

より、左辺にはa、b、c、dのどれでもない４ｎ－１の素因数eが存在する。

これを繰り返し、

奇数回のときは４ｎ－１の形の素数を偶数個掛けるから値は４を法として１になるから、

２（a×ｂ×ｃ×ｄ×e×ｆ×・・・×z(2m））＋１≡ー１　mod　４

となって新しく４ｎ－１の素因数が存在すること示せる。

偶数回の時は４ｎ－１の形の素数を偶数個掛けたうえでさらにもう１個かけることになるので最後の４ｎ－１の素数は2乗すればいいので、

２（a×b×c×d×e×ｆ×・・・×z(2m＋１)＾２）＋１≡ー１　mod　４

となって新しく４ｎ－１の素因数が存在することを示せる。

この操作は無限にできるので４ｎ－１の形の素数は無限に存在する。