４ｎ－１の形の素数が無限に存在することの新しい証明 その６

証明の方針

直接法で示す。

証明

４ｎ－１の形の素数aが存在したとする。

a^2＋２≡ー１　mod　４

a^2ー２≡ー１　mod　４

ここで上下の式は去通の素因数を持たない。

実際、共通の素因数を持ったとすると、

a^2＋２＝ｐa^（＋2）

a^2ー２＝ｐa^（－２）

上下の式を足して、

２a^2=p(a^（＋2）＋a^（ー2））

となり、ｐは奇数なのでｐはaを素因数に含まないといけないが、それは式の構造上ありえない。よって共通の素因数を持たない。

より、

a^2＋２≡ー１　mod　４

a^2ー２≡ー１　mod　４

は互いに素で４ｎ－１の素因数を最低一つは持つ。ここで上をｂ、下をｃとして、

(abc)^2＋２≡ー１　mod　４

(abc)^2ー２≡ー１　mod　４

となり、上はa、b、ｃ、のどれでもない４ｎ－１の素因数ｄを持ち、下はa、b、cのどれでもない４ｎ－１の素因数eを持つ。

これは無限にできる。よって４ｎ－１の形の素数は無限に存在する。