４ｎ－１の形の素数が無限に存在することの新しい証明 その７

証明の方針

直接法を使う。

証明

aとｂを素数として以下が成り立つとする。

a≡１　mod　４

b≡ー１　mod　４

とすると、

ab＋a＋b≡ー１　mod　４

ここで、左辺は４ｎ－１の形であり、aでもｂでも割り切れないので４ｎ－１の形の別の素因数ｃが存在する。

ここで、

ab＋ac＋bc≡ー１　mod　４

より、左辺は４ｎ－１の形で、a、ｂ、ｃのどれも割り切れないので４ｎ－１の形の別の素因数ｄが存在する。

ここで、

ab＋acd＋bcd≡ー１　mod　４

より、左辺は４ｎ－１の形でa、ｂ、ｃ、ｄのどれでも割り切れないので４ｎ－１の形の別の素因数eが存在する。

これは無限に可能。

よって、４ｎ－１の形の素数は無限に存在する。