4n-1の形の素数が無限に存在することの新しい証明 その8

証明の方針

直接法を使う。

 

証明

aとbを4で割って1あまる素数だとする。

a≡1 mod 4

b≡1 mod 4

とすると、

a+2b≡ー1 mod 4

より、左辺は4n-1の形なので4n-1の素因数を含んでる。それをひとつ取り上げてcとするとcの2乗は4を法として1なので、

ac^2+2b≡ー1 mod 4

なので、左辺はcで割り切れないので左辺は別の4n-1の素因数dを含んでる。これを同様に、

ac^2d^2+2b≡ー1 mod 4

となるのでこれは無限に操作可能。

よって、4n-1の形の素数は無限に存在する。