４ｎ－１の形の素数が無限に存在することの新しい証明 その１１

証明の方針

背理法で示す。

証明

４ｎ－１の形の素数が有限個だと仮定する。そして４ｎ－１の値の素数をすべてかけた値をaとすると、

a≡１　mod　４

a≡ー１　mod　４

のどちらかとなる。

ここで、

a^2＋２aー４≡ー１　mod ４

より、左辺は４ｍ－１の形をしているが左辺は仮定した４ｎ－１の形のどの素数でも割り切ることができない。これは矛盾である。これは最初に４ｎ－１の形の素数が有限個とした仮定に誤りがある。

よって、４ｎ－１の形の素数は無限に存在する。