平方剰余の相互法則の一般化らしき式

初等整数論で有名な定理に平方剰余の相互法則があります。

その主張自体はすでによく知られていてネット上でも多数の解説や説明があるのでそれはいちいち繰り返しません。ただし、僕が見つけた式との比較考察上ここにも書きます。

相異なる奇素数ｐとｑに対して、

(q/p)(p/q)＝(ー１)＾（ｐ´ｑ´）

（/）はルジャンドルの記号

ここでｐ´＝（ｐ－１）/2でq´＝(qー１)/２となる。

僕が発見したのはさらに１つ素数rを増やします。

それぞれが相異なる奇素数p、q、rに対して、

(qr/p)(rp/q)(pq/r)＝（ー１）^（ｐ´ｑ´）×（－１）^（ｑ´ｒ´）×（－１）^（r´ｐ´）

ここでｒ´＝（ｒ－１）/2を増やす。

が成り立ちそうだけれどなあ。

この法則が意味するもの。

左辺の３個の素数のうち２個か３個の素数が４ｎ+１だと右辺は＋１となり2個か３個の素数の４ｎ－１の形だと右辺はー１となる。

実例、ｐ＝３、ｑ＝７、ｒ＝１１とする。

（21/11）（33/7）（77/3）＝－１×ー１×ー１＝－１

ｐ＝５、ｑ＝１３、ｒ＝１１でする。

（143/5）（55/13）（65/11）＝－１×＋１×－１＝＋１

となる。

という感じに。

ただし証明ができていない。１００個くらいやって反例はなかったけれど。