4nー１の形の素数が無限に存在することの新しい証明

証明の方針

直接法で示す。４ｎ－１の素数の集合をもとにあたらしく４ｎ－１の素数が存在することを示す。

証明

４ｎ－１の形の素数を並べる。

３、７、１１、１９、２３、３１、４３、・・・

ここで、３から奇数個の素数を掛けて値をaとするとaは４ｎ－１の形で表されなくてはならない。

実際、４ｎ－１の形の素数を２回掛けると４を法として１になるから。そのうえでそれに４ｎ－１の形の素数をかけると値は４を法として－１になる。

そして、a^2ーa＋１という式を考える。

a＝４ｎ－１を代入すると、

４（４ｎ＾２－３ｎ）＋３

となり、４（４ｎ＾２－３ｎ）＋３はaを構成するどの素数でも割り切ることができないのは明白。よって、形の構造上、４（４ｎ＾２－３ｎ）＋３は新しく４ｎ－１の形の素数を持つ。

これは４ｎ－１の形の素数が奇数個の場合にもれなく適用可能。

偶数個の場合は、素数のどれかを２回かければ奇数個にできる。

よって、４ｎ－１の形の素数は無限に存在する。

1次方程式には１個の解しかないことの新しい証明

証明の方針

背理法を使う。

証明

ax＋ｂ＝０

より解は、

ｘ＝ーb/a　・・・１

ここで解が２個存在したとする。

ｘ＝ｃｙ　・・・２

ｘ＝ｄｙ　・・・３

の２個があり、解は違う値で、ｃ＞ｄとする。

１の数式に２を代入する。

ｃｙ＝－b/a　・・・４

４の数式に３を代入する

（ｃｘ）/ｄ＝ーb/a　・・・５

５の数式に２を代入する

（ｃ²ｙ）/ｄ＝－b/a　・・・６

６の数式に３を代入する。

（ｃ²ｘ）/ｄ²＝－b/a　・・・７

ここで、この操作は無限に繰り返すことができる。

５、７、それ以降の奇数番目の数式は、

（（ｃ/ｄ）＾ｎ）ｘ＝－b/a　

と表記可能。

ここで、ｃ＞ｄより、操作を繰り返しｎを大きくすると無限に発散する。

つまり、上記の左辺の係数は無限に発散するが、これは最初のｘ＝－b/aとした解と値が違い、矛盾する。これはｘ＝－b/aとなる解が2個存在すると仮定したことに原因がある。よって1次方程式の解は１個だけである。