ルジャンドルの記号から得られる系について

初等整数論で著名な定理のひとつにルジャンドルの記号があります。

ここでは平方剰余の第１補充法則と第２補充法則から得られる系を見てみましょう。

ルジャンドルの記号（/）について、

（ー１/ｐ）＝（ー１）＾（（ｐ－１）/２）　第１補充法則

（２/ｐ）＝（ー１）＾（（ｐ＾２－１）/８）　第２補充法則

証明は良く知られているのでここでは繰り返しません。

ここでは僕が見つけた補充法則の系について見てみましょう。

きっかけとなったのは、

ルジャンドルの記号は自然数にしか適用できず、（√２/３）は定義されないのだろうか？　という問いです。

ここでは系を導入することでその値（√２/３）の値を見ましょう。

拡張体系、

（√ー１/ｐ）＝i＾（（ｐ－１）/２）

（√２/ｐ）＝i^（（ｐ＾２－１）/８）

ここでiは虚数単位。ここで両方の２個の式とも２乗すると第１補充法則と第２補充法則と同値になります。

では、（√２/３）の値を見てみましょう。

上記の下の式より、

（√２/３）＝i

となります。実際両辺を2乗すると、

（２/３）＝－１

となり、これは平方剰余の第２補充法則からすぐに正しいとわかります。

より、

（√２/３）＝i

が求めるべき答えでした。