証明の方針 直接法で示す。 証明 aを奇素数として、 a≡ー１ mod ４ が成り立っているとすると、 2a＋a^3≡１ mod ４ となる。ここで左辺は４ｎ＋１の形であるから、また４ｎ－１の形の素因数を含むので、aではない別の４ｎ－１の素因数を含む。それをｂとして…

証明の方針 背理法で示す。 証明 ４ｎ－１の形の素数が有限個だと仮定する。そして４ｎ－１の値の素数をすべてかけた値をaとすると、 a≡１ mod ４ a≡ー１ mod ４ のどちらかとなる。 ここで、 a^2＋２aー４≡ー１ mod ４ より、左辺は４ｍ－１の形をしている…

証明の方針 直接法を使って示す。 証明 aとｂを素数として、 a≡ー１ mod ４ b≡ー１ mod ４ が成り立っているとする。 ここで、 ab＋２≡ー１ mod ４ だから、左辺は４ｎ－１の形でaでもｂでも割り切れない４ｎ－１の形の素数ｃがある。 ここで、 ab＋２ｃ≡ー…

証明の方針 直接法を使って示す。 証明 a≡０ mod ４ とすると、 aー１≡ー１ mod ４ より、aー１は４ｎ－１の形の素因数を含む。それをひとつとりあげbとして以下の式を考える。 b^2(aー１)ーa≡ー１ mod ４ となり、ここで左辺はｂで割り切れないので別の４ｎ…

証明の方針 直接法を使う。 証明 aとｂを４で割って１あまる素数だとする。 a≡１ mod ４ b≡１ mod ４ とすると、 a＋２ｂ≡ー１ mod ４ より、左辺は４ｎ－１の形なので４ｎ－１の素因数を含んでる。それをひとつ取り上げてｃとするとｃの2乗は４を法として１…

証明の方針 直接法を使う。 証明 aとｂを素数として以下が成り立つとする。 a≡１ mod ４ b≡ー１ mod ４ とすると、 ab＋a＋b≡ー１ mod ４ ここで、左辺は４ｎ－１の形であり、aでもｂでも割り切れないので４ｎ－１の形の別の素因数ｃが存在する。 ここで、 a…

証明の方針 直接法で示す。 証明 ４ｎ－１の形の素数aが存在したとする。 a^2＋２≡ー１ mod ４ a^2ー２≡ー１ mod ４ ここで上下の式は去通の素因数を持たない。 実際、共通の素因数を持ったとすると、 a^2＋２＝ｐa^（＋2） a^2ー２＝ｐa^（－２） 上下の式…

証明の方針 背理法を使い矛盾が発生することを示す。 証明 ４ｎ－１の形の素数が有限個だと仮定する。 ３×７×１１×１９×・・・＝a と置くと、aは４ｎ－１の形か４ｎ＋１の形をしているので２乗すると、 a^2＝（４ｎ－１）＾２＝１６ｎ＾２－８ｎ＋１ a^2＝（…

証明の方針 直接法で示す。 証明 ４ｎ－１の形の素数のaとｂの2個を取り上げる。 まずは1回目で奇数回。 ２（a×ｂ）＋１≡ー１ mod ４ より、左辺にはaとｂではない別の４ｎ－１の素因数ｃが存在する。 次は2回目で偶数回。 ２（a×ｂ×ｃ＾２）＋１≡ー１ mod …

証明の方針 直接法で示す。 証明 ４ｎ－１の形の素数のaとｂの２個を取り上げる。 aｂ＾２≡ー１ mod ４ ba＾２≡ー１ mod ４ より、 ab^2＋ba＾２＋１≡ー１ mod ４ 左辺は４ｎ－１の形であり、aとｂで割り切れないので別の４ｎ－１の形の素因数ｃが存在する。…

証明の方針 背理法で示す。４ｎ－１の形の素数が有限個だと仮定すると矛盾が発生することを示す。 証明 ４ｎ－１の形の素数が有限個だと仮定する。４ｎ＋１の形の素数に制約を設ける必要がないから４ｎ＋１の形の素数には個数の制約を設けない。 素数階乗を…

証明の方針 背理法に近い方法を使う。もし任意の自然数ｎが２通りに書ける場合に矛盾に近いものが発生することを示す。 証明 自然数ｎを素因数分解して、 ｎ＝a１×a２×a３×・・・×aｍ が得られたとする。ここで（a１、a２、a３、・・・、aｍ）＝１とする。な…

証明の方針 直接法で示す。４ｎ－１の素数の集合をもとにあたらしく４ｎ－１の素数が存在することを示す。 証明 ４ｎ－１の形の素数を並べる。 ３、７、１１、１９、２３、３１、４３、・・・ ここで、３から奇数個の素数を掛けて値をaとするとaは４ｎ－１の…

証明の方針 背理法を使う。 証明 ax＋ｂ＝０ より解は、 ｘ＝ーb/a ・・・１ ここで解が２個存在したとする。 ｘ＝ｃｙ ・・・２ ｘ＝ｄｙ ・・・３ の２個があり、解は違う値で、ｃ＞ｄとする。 １の数式に２を代入する。 ｃｙ＝－b/a ・・・４ ４の数式に…