４ｎ－１の形の素数が無限に存在することの新しい証明 その９

証明の方針

直接法を使って示す。

証明

a≡０　mod　４

とすると、

aー１≡ー１　mod　４

より、aー１は４ｎ－１の形の素因数を含む。それをひとつとりあげbとして以下の式を考える。

b^2(aー１)ーa≡ー１　mod　４

となり、ここで左辺はｂで割り切れないので別の４ｎ－１の形の素因数ｃが存在する。

同様に、

(cb)＾２（aー１）ーa≡ー１　mod　４

より、左辺は４ｎ－１の形でｂでもｃでも割り切れないので別の素因数ｄが存在する。

この操作は無限に可能なので４ｎ－１の形の素数は無限に存在する。