４ｎ－１の形の素数が無限に存在することの新しい証明 その５

証明の方針

背理法を使い矛盾が発生することを示す。

証明

４ｎ－１の形の素数が有限個だと仮定する。

３×７×１１×１９×・・・＝a

と置くと、aは４ｎ－１の形か４ｎ＋１の形をしているので２乗すると、

a^2＝（４ｎ－１）＾２＝１６ｎ＾２－８ｎ＋１

a^2＝（４ｎ＋１）＾２＝１６ｎ＾２＋８ｎ＋１

になるので両方とも右辺から２を引くと、

a^2－２＝（４ｎ－１）＾２－２＝４（４ｎ＾２－２ｎ）ー１

a^2－２＝（４ｎ＋１）＾２－２＝４（４ｎ＾２＋２ｎ）－１

となり、４ｍ－１の形になるが、aに含まれるどの４ｎ－１の素数でも４ｍ－１を割り切ることはできない。これは矛盾である。これは最初の４ｎ－１の形の素数は有限個だとした仮定に誤りがある。よって４ｎ－１の形の素数は無限に存在する。