証明の方針
直接法で示す。
証明
aを奇素数として、
a≡ー１ mod ４
が成り立っているとすると、
2a＋a^3≡１ mod ４
となる。ここで左辺は４ｎ＋１の形であるから、また４ｎ－１の形の素因数を含むので、aではない別の４ｎ－１の素因数を含む。それをｂとして、
２ab^2＋a^3≡１ mod ４
とすると、同様に左辺は４ｎ＋１の形でaでもｂでも割り切れない４ｎ－１の素因数ｃを含む。これを同様に、
２ab^2c^2＋a^3≡１ mod ４
となり、同様に４ｎ－１の形の素因数ｄが存在することがわかる。これは無限にできる。よって４ｎ－１の形の素数は無限に存在する。
