三位四元数の導入について
この記事では１か月くらい前に発見した三位四元数という数の導入を紹介します。
研究の動機
は、簡単に言えば四元数がなんとなく好みだから拡張出来ないかなと思って研究しました。
以下に定義を述べる。
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
ここで、
a3・b2・c1＝a2・b1・c3＝a1・b3・c2＝－１
と定義したうえで全ての要素は２乗するとー１とするように定義する。
すると、ここで、
a3=i
b2=j
c1=k
と置くとこれは四元数の拡張になる。
なお、a2・c3・b1＝－１とa1・b3・c2＝－１自体も四元数。
ここで計算の法則は以下に従う。
アルファベットが同じなら数字が同じものつまり、
a2ならa2としか処理不可能。
つまり、
a3・a1
b2・b3
c1・c2
は簡略化不可能。
（抽象代数学におけるフロベニウスの定理があるし）
アルファベットが違うなら数字が違う場合に限り処理可能。
その場合、アルファベットと数字はそれぞれ残っているものになる。
a・b
b・c
c・a
の場合はプラスになって、
b・a
a・c
c・b
の場合はマイナス。
a3・b2・c1
＝c1・c1
＝－１
b1・a3・b2・c1
＝ーc2・a3
＝－b１
が成り立つ 。
ここで、四元数は乗法単位元の１とa3とb2とc1からできているので、上記は四元数の拡張になる。
ただ、説明すごく分かりにくいだろうな。
なんとかわかりやすく説明できないだろうか？
４ｎ－１の形の素数が無限に存在することの新しい証明 その９
証明の方針
直接法を使って示す。
証明
a≡０ mod ４
とすると、
aー１≡ー１ mod ４
より、aー１は４ｎ－１の形の素因数を含む。それをひとつとりあげbとして以下の式を考える。
b^2(aー１)ーa≡ー１ mod ４
となり、ここで左辺はｂで割り切れないので別の４ｎ－１の形の素因数ｃが存在する。
同様に、
(cb)＾２（aー１）ーa≡ー１ mod ４
より、左辺は４ｎ－１の形でｂでもｃでも割り切れないので別の素因数ｄが存在する。
この操作は無限に可能なので４ｎ－１の形の素数は無限に存在する。
