4nー１の形の素数が無限に存在することの新しい証明

証明の方針

直接法で示す。４ｎ－１の素数の集合をもとにあたらしく４ｎ－１の素数が存在することを示す。

証明

４ｎ－１の形の素数を並べる。

３、７、１１、１９、２３、３１、４３、・・・

ここで、３から奇数個の素数を掛けて値をaとするとaは４ｎ－１の形で表されなくてはならない。

実際、４ｎ－１の形の素数を２回掛けると４を法として１になるから。そのうえでそれに４ｎ－１の形の素数をかけると値は４を法として－１になる。

そして、a^2ーa＋１という式を考える。

a＝４ｎ－１を代入すると、

４（４ｎ＾２－３ｎ）＋３

となり、４（４ｎ＾２－３ｎ）＋３はaを構成するどの素数でも割り切ることができないのは明白。よって、形の構造上、４（４ｎ＾２－３ｎ）＋３は新しく４ｎ－１の形の素数を持つ。

これは４ｎ－１の形の素数が奇数個の場合にもれなく適用可能。

偶数個の場合は、素数のどれかを２回かければ奇数個にできる。

よって、４ｎ－１の形の素数は無限に存在する。